» 5_علم الحركة_ فضاء الوضعيات Configuration Space _Rev2

مازلت حتى الآن في إطار توضيح بعض المفاهيم الأساسية في علم حركة الربوتات.
تعاريف:
System: A set of particles.
In a physical system, each particle has a location in a plane, described by two real numbers, or in three-dimensional space, described by three real numbers. We say that the particles are embedded in R2 or R3.
النظام: هو مجموعة من النقاط.
في الأنظمة الفيزيائية, كل نقطة من هذه النقاط له موضع في سطح ثنائي الأبعاد يتم وصفه بعددين حقيقيين أو في فضاء ثلاثي الأبعاد يتم وصفه حينئذ بثلاثة أعداد حقيقية. بذلك نقول أن النقاط هي جزء لا يتجزأ من الفضاء R2 أو R3

Configuration: The location of every particle in the system.
The particles may be constrained to lie on a curve, or on a surface. There may also be other constraints; for example, the particles might all be part of a rigid body, so that their locations are not independent.
التوضع ضمن النظام: هو مكان توضع كل نقطة في هذا النظام
قد تكون هذه النقاط محصورة ضمن منحني أو في سطح. وقد يكون هناك شروط أخرى لتوضعها, على سبيل المثال قد تكون جميع هذه النقاط أجزاء من جسم صلب واحد بالتالي فإن مواضع هذه النقاط مرتبطة فيما بينها.


Configuration space: The set of all possible configurations of the system.
فضاء الوضعيات : هو مجموعة كل الوضعيات المحتملة لهذا النظام

Degrees of freedom: The independent ways in which the configurations of a system can chang
درجات الحرية: هي الطرق المستقلة التي تتغير من خلالها وضعيات النظام

لشرح معنى درجات الحرية نأخذ مثالا:
أي نقطة موجودة في سطح ثنائي الأبعاد بحاجة إلى عددين من أجل تمثيل موضعها فيه, لهذا فإنا نقول أن لهذه النقطة درجتي حرية.
بفرض أن النظام يحوي على نقطتين تتحرك كل واحدة منهما بشكل مستقل عن الأخرى, فإننا بحاجة إلى أربعة أعداد لتمثيل موضعهما, لهذا فإنا نقول أن لهذا النظام أربعة درجات حرية.

ماذا سيحدث إذا علمنا أن هناك شروط لحركة النقاط؟ على سبيل المثال نظام مكون من نقطتين يشترط فيه أن المسافة بينهما تساوي لعدد ثابت قيمته واحد (واحد متر أو سم أو إنش أو أي واحدة طول أخرى). نستطيع تمثيل هذا النظام بأربعة أعداد كالتالي (x1,y1,x2,y2), وهي الإحداثيات الديكارتية لكل نقطة.

يزيل هذا الشرط درجة من درجات الحرية, لذلك هذا النظام له ثلالثة درجات حرية فقط. السبب في ذلك: إذا كان لدينا ثلاثة إحداثيات معروفة القيمة (مثلاً x1,y1,y2) فإننا نستطيع معرفة قيمة الإحداثي الأخير (x2) من المعادلة السابقة. لاحظ أنه بالرغم من وجود حلين مختلفين لقيمة (x2) , فإنه لايمكن أن تتغير المسافة بين هاتين النقطتين (أي لا يوجد حركة بينهما).


المسارات في فضاء الوضعيات Trajectories in configuration space
كل نقطة من سطح من فضاء الوضعيات لها موضع في هذا النظام. مثال: تدلنا الإحداثيات(0,0,1,0) على وجود نقطة مرجعية في هذا النظام وعلى وجود نقطة ثانية تبعد بمسافة قدرها 1 على المحور x عن النقطة الأولى. يمكن تمثيل حركة مستمرة و ناعمة لجسم جامد من خلال منحني موجود ضمن فضاء الوضعيات وهذا المنحني مضبوط زمنياً:
((x1(t),y1(t),x2(t),y2(t) حيث أن
الصفر هو زمن بداية و T هو زمن النهاية.

يجب التمييز بين الطريق و المسار:
Path: A continuous curve on the configuration space.
الطريق : منحني مستمر في فضاء الوضعيات

Trajectory: A continuous curve on the configuration space parameterized by time.
المسار: منحني مستمر في فضاء الوضعيات مضبوط زمنياً

هناك بعض المعادلات الرياضية التي تربط بين الطريق و المسار. يدلنا الطريق ببساطة إلى أين قد تتحرك النقاط بشكل محتمل, بينما المسار يخبرنا بالإضافة إلى ذلك عن معلومات حول سرعة النظام والزمن الذي سيصل فيه إلى أية نقطة.



I will continue insha allah:

http://www.cs.dartmouth.edu/~robotics/cs54/index.php/Article_3:_Configuration_Space